【泛函分析】

内容介绍

本书根据作者多年来在纽约大学柯朗数学研究所教授二年级研究生泛函分析课程的讲义撰写而成，给出了泛函分析的基本内容以及数学中一些不可缺少的深刻论题，包括自伴算子的谱分解和谱表示、紧算子理论、Krein-Milman定理、Gelfand的交换Banach代数理论、不变子空间、强连续单参数半群等。书中各章短小精辟，并配有习题，易于读者充分理解所学内容。本书适合理工科专业、数学专业的大学生、研究生阅读。

目录

第1章线性空间1

第2章线性映像7

2.1线性映像生成的代数7

2.2线性映像的名额10

第3章Hahn-Banach定理16

3.1延拓定理16

3.2 Hahn-Banach定理的几何形式17

3.3 Hahn-Banach定理的延拓20

第4章Hahn-Banach定理的应用24

4.1正线性泛函的延拓24

4.2 Banach极限25

4.3有限可加的不变集函数27

第5章赋范线性空间29

5.1范数29

5.2组织球的非紧性34

5.3等距37

第6章Hilbert空间42

6.1内积42

6.2闭凸集中的**佳逼近点44

6.3线性泛函45

6.4线性张47

第7章Hilbert空间结果的应用51

7.1 Radon-Nikodym定理51

7.2 Dirichlet问题52

第8章赋范线性空间的对偶59

8.1有界线性泛函59

8.2有界线性泛函的延拓60

8.3自反空间63

8.4集合的支撑函数67

第9章对偶性的应用71

9.1加权幂的完备性71

9.2 M.untz逼近定理72

9.3 Runge定理74

9.4函数论中的对偶变分问题75

9.5 Green函数的存在性77

第10章弱收敛81

10.1弱收敛序列的一致有界性82

10.2弱序列紧性85

10.3弱*收敛86

第11章弱收敛的应用88

11.1用连续函数逼近δ函数88

11.2傅里叶级数的发散性89

11.3近似求积分90

11.4向量值函数的弱解析性和强解析性90

11.5偏微分方程解的存在性91

11.6具有正实部的解析函数的表示94

第12章弱拓扑和弱*拓扑96

第13章局部凸空间拓扑和Krein-Milman定理100

13.1通过线性泛函分离点101

13.2 Krein-Milman定理102

13.3 Stone-Weierstrass定理103

13.4 Choquet定理104

第14章凸集及其极值点的例子109

14.1正线性泛函109

14.2凸函数110

14.3完全单调函数112

14.4 Carathéodory和Bochner定理116

14.5 Krein的一个定理120

14.6正调和函数121

14.7 Hamburger矩问题122

14.8 GBirkho猜测123

14.9 De Finetti定理127

14.10保测映像128

第15章有界线性映像131

15.1有界性和连续性131

15.2强拓扑和弱拓扑135

15.3一致有界原理136

15.4有界线性映像的复合137

15.5开映像原理137

第16章有界线性映像的例子142

16.1积分算子的有界性142

16.2 Marcel Riesz凸性定理145

16.3有界积分算子的例子147

16.4双曲方程的解算子152

16.5热传导方程的解算子153

16.6奇异积分算子，拟微分算子和Fourier积分算子156

第17章Banach代数及其基本谱理论157

17.1赋范代数157

17.2函数演算161

第18章交换Banach代数的Gelfand理论165

第19章交换Banach代数的Gelfand理论的应用171

19.1代数C（S）171

19.2 Gelfand紧化171

19.3 *收敛的Fourier级数172

19.4闭组织圆盘上的解析函数173

19.5开组织圆盘内的解析函数174

19.6 Wiener的陶伯定理175

19.7交换的B*代数180

第20章算子及其谱的例子184

20.1可逆映像184

20.2移位186

20.3 Volterra积分算子187

20.4 Fourier变换188

第21章紧映像189

21.1紧映像的基本性质189

21.2紧映像的谱理论193

第22章紧算子的例子199

22.1紧性的判别准则199

22.2积分算子200

22.3椭圆偏微分算子的逆202

22.4由抛物型方程定义的算子203

22.5殆正交基204

第23章正的紧算子206

23.1正的紧算子的谱206

23.2随机积分算子208

23.3二阶椭圆算子的逆210

第24章积分方程的Fredholm理论212

24.1 Fredholm行列式和Fredholm预解式212

24.2 Fredholm行列式的乘法性质219

24.3 Gelfand-Levian-Marchenko方程和Dyson的公式221

第25章不变子空间225

25.1紧算子的不变子空间225

25.2不变子空间套227

第26章射线上的调和分析233

26.1调和函数的Phragmén-Lindel f原理233

26.2抽象Phragmén-Lindel f原理234

26.3渐进展开243

第27章名额理论246

27.1 Noether名额246

27.2 Toeplitz算子250

27.3 Hankel算子256

第28章Hilbert空间上的紧对称算子259

第29章紧对称算子的例子266

29.1卷积266

29.2一个微分算子的逆268

29.3偏微分算子的逆269

第30章迹类和迹公式271

30.1极分解与奇异值271

30.2迹类，迹范数，迹272

30.3迹公式275

30.4行列式281

30.5迹类算子的例子和反例282

30.6 Poisson和公式287

30.7如何将算子的名额表示成迹的差288

30.8 Hilbert-Schmidt类290

30.9 Banach空间上的算子的迹和行列式291

第31章对称算子、正规算子和酉算子的谱理论293

31.1对称算子的谱294

31.2对称算子的函数演算296

31.3对称算子的谱分解298

31.4 *连续谱、奇异谱和点谱300

31.5对称算子的谱表示301

31.6正规算子的谱分解305

31.7酉算子的谱分解306

第32章自伴算子的谱理论311

32.1谱分解311

32.2利用Cayley变换构造谱分解320

32.3自伴算子的函数演算321

第33章自伴算子的例子325

33.1无界对称算子的延拓325

33.2对称算子延拓的例子，亏指数327

33.3 Friedrichs延拓331

33.4 Rellich扰动定理334

33.5矩问题337

第34章算子半群343

34.1强连续的单参数半群344

34.2半群的构造349

34.3半群的逼近352

34.4半群的扰动356

34.5半群的谱理论358

第35章酉算子群363

35.1 Stone定理363

35.2遍历理论365

35.3 Koopman群367

35.4波动方程369

35.5平移表示370

35.6 Heisenberg交换关系376

第36章强连续算子半群的例子382

36.1由抛物型方程定义的半群382

36.2由椭圆型方程定义的半群382

36.3半群的指数型衰减386

36.4 Lax-Phillips半群390

36.5障隘外部的波动方程391

第37章散射理论395

37.1扰动理论395

37.2波算子397

37.3波算子的存在性399

37.4波算子的不变性406

37.5比特势散射406

37.6散射算子407

37.7 Lax-Phillips散射理论408

37.8散射矩阵的*点414

37.9自守波动方程415

第38章Beurling定理426

38.1 Hardy空间426

38.2 Beurling定理427

38.3 Titchmarsh卷积定理434

附录A Riesz-Kakutani表示定理439

A.1正线性泛函439

A.2体积442

A.3函数空间L 444

A.4可测集和测度446

A.5 Lebesgue测度和积分450

附录B广义函数理论451

B.1定义和例子451

B.2广义函数的运算452

B.3广义函数的局部性质454

B.4在偏微分方程中的应用460

B.5 Fourier变换464

B.6 Fourier变换的应用472

B.7 Fourier级数473

附录C Zorn引理475

关键字索引476

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【泛函分析导论及应用】

内容简介

本书是学习泛函分析的一部优秀入门书，被欧美众多大学广泛用作数学系、物理系大学生和研究生的教材.全书共11章，包括度量空间、赋范空间、巴拿赫空间、希尔伯特空间、不动点定理及其应用、逼近论、赋范空间中线性算子的谱论、赋范空间中的紧线性算子及其谱论、有界自伴线性算子的谱论、希尔伯特空间中的无界线性算子、量子力学中的无界线性算子等内容.本书精选900多道习题，并给出了解答.

作者简介

欧文·克雷斯齐格（Erwin Kreyszig）德裔加拿大籍应用数学家，在德国达姆施塔特工业大学获得博士学位，曾任职于美国斯坦福大学、加拿大渥太华大学、美国俄亥俄州立大学、奥地利格拉茨科技大学、加拿大温莎大学和加拿大卡尔顿大学等高校。他是应用数学领域的先驱，主要研究课题是非波复制线性系统，另著有Advanced Engineering Mathematics和Differential Geometry等书。

目录

第1章度量空间1

1.1度量空间2

1.2度量空间的其他例子7

1.3开集、闭集和邻域13

1.4收敛性、柯西序列和完备性18

1.5例子——完备性的证明24

1.6度量空间的完备化30

第2章赋范空间和巴拿赫空间35

2.1向量空间36

2.2赋范空间和巴拿赫空间42

2.3赋范空间的其他性质48

2.4有限维赋范空间和子空间51

2.5紧性和有限维55

2.6线性算子59

2.7有界线性算子和连续线性算子66

2.8线性泛函75

2.9有限维空间中的线性算子和泛函81

2.10算子赋范空间和对偶空间85

第3章内积空间和希尔伯特空间92

3.1内积空间和希尔伯特空间93

3.2内积空间的其他性质99

3.3正交补与直和103

3.4规范正交集和规范正交序列110

3.5与规范正交序列和规范正交集有关的级数117

3.6完全规范正交集和完全规范正交序列122

3.7勒让德、埃尔米特和拉盖尔多项式128

3.8希尔伯特空间中泛函的表示138

3.9希尔伯特伴随算子143

3.10自伴算子、酉算子和正规算子147

第4章赋范空间和巴拿赫空间的基本定理153

4.1佐恩引理153

4.2哈恩？C巴拿赫定理156

4.3复向量空间和赋范空间的哈恩？C巴拿赫定理160

4.4应用到C[a，b]上的有界线性泛函165

4.5伴随算子170

4.6自反空间176

4.7范畴定理和一致有界性定理182

4.8强收敛和弱收敛189

4.9算子序列和泛函序列的收敛194

4.10在序列可和性方面的应用198

4.11数值积分和弱星收敛203

4.12开映像定理210

4.13闭线性算子和闭图定理215

第5章巴拿赫不动点定理的应用220

5.1巴拿赫不动点定理220

5.2巴拿赫定理在线性方程组方面的应用226

5.3巴拿赫定理在微分方程方面的应用231

5.4巴拿赫定理在积分方程方面的应用235

第6章在逼近论中的应用241

6.1赋范空间中的逼近241

6.2性和严格凸性243

6.3一致逼近248

6.4切比雪夫多项式254

6.5希尔伯特空间中的逼近260

6.6样条函数263

第7章赋范空间中线性算子的谱论267

7.1有限维赋范空间中的谱论267

7.2基本概念271

7.3有界线性算子的谱性质275

7.4预解式和谱的其他性质278

7.5复分析在谱论中的应用283

7.6巴拿赫代数289

7.7巴拿赫代数的其他性质292

第8章赋范空间中的紧线性算子及其谱论297

8.1赋范空间中的紧线性算子297

8.2紧线性算子的其他性质302

8.3赋范空间中紧线性算子的谱性质307

8.4紧线性算子的其他谱性质313

8.5含有紧线性算子的算子方程319

8.6其他的弗雷德霍姆型定理324

8.7弗雷德霍姆择一性331

第9章有界自伴线性算子的谱论337

9.1有界自伴线性算子的谱性质337

9.2有界自伴线性算子的其他谱性质341

9.3正算子344

9.4正算子的平方根349

9.5投影算子353

9.6投影的其他性质357

9.7谱族361

9.8有界自伴线性算子的谱族365

9.9有界自伴线性算子的谱表示371

9.10谱定理到连续函数的推广377

9.11有界自伴线性算子的谱族的性质380

第10章希尔伯特空间中的无界线性算子384

10.1无界线性算子及其希尔伯特伴随算子385

10.2希尔伯特伴随算子、对称和自伴线性算子389

10.3闭线性算子和闭包393

10.4自伴线性算子的谱性质397

10.5酉算子的谱表示401

10.6自伴线性算子的谱表示408

10.7乘法算子和微分算子413

第11章量子力学中的无界线性算子419

11.1基本概念：状态、观察量和位置算子420

11.2动量算子和海森伯测不准原理423

11.3与时间无关的薛定谔方程428

11.4哈密顿算子432

11.5与时间相关的薛定谔方程438

附录A复习与参考资料446

附录B习题解答457

附录C参考书目538

人名索引542

索引545